Espansione di un parco. Modello matematico.

Qual’è l’evoluzione della superficie ricoperta di verde di un parco? Come si potrebbe descrivere per via matematica la sua espansione nel tempo e da quali parametri dipende principalmente.

Chiameremo Atot l’area complessiva del verde. In prima battuta l’espansione del parco potrà essere descritta tramite la seguente relazione:

\frac{dA}{dt}=\alpha A(1-A)

L’andamento dell’espansione dipende dal punto di partenza A0 e da un parametro α che sarà funzione degli ostacoli ambientali oppure dell’aiuto umano:

\alpha = \phi _{ostacolli}+\phi _{aiuti}

le due componenti saranno funzione del tempo, ma qui le teniamo costanti per non complicare le cose. Inoltre teniamo in conto eventuali ostacoli permanenti (U) che limiteranno la nostra area massima disponibile.

\frac{dA}{dt}=\alpha A(1-A-U)

Trasformiamo il tutto in un tipico problema di Cauchy imponendo la condizione iniziale:

A(0)=0.3A_{tot}

Risolviamo ad esempio l’equazione differenziale con Matlab, ipotizzando dei valori per r ed U. La sintassi è la seguente.

r=0.01;
U=0.3;

syms A(t)
A(t) = dsolve(diff(A,t) == r*(1-A-U), A(0) == 0.3)

x = linspace(1,1000);
plot(x,A(x))

E il grafico, ipotizzando che la scala temporale indichi le ore, dovrebbe essere:

evoluzione parco

 

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